Teorías gauge y gravedad de Chern-Simons en 2+1 dimensiones

Abstract

Se estudian las teorías de gauge en el lenguaje abstracto de la Geometría Diferencial. Esto incluye: Grupos de Lie, acciones, brados, conexiones, curvaturas, etc. Estos temas se cubren a lo largo de las primeras secciones con la intención de servir como una introducción. Después, el objetivo principal es presentar numerosos ejemplos, con el mayor nivel de detalle permitido. Se analiza el electromagnetismo, comenzando por la libertad clásica de escoger los potenciales de la teoría. Tras ello, esta se describe en términos de U(1)- brados principales. Se estudian tambi én los monopolos de Dirac, que sirven como ejemplo de teor as con brados no triviales. El eletromagnetismo se generaliza a la teoría de Yang-Mills y se discuten las condiciones para la existencia una acción adecuada. El objetivo del último capítulo es introducir la gravedad de Chern-Simons en 2+1 dimensiones como teoría de gauge. En este caso, la teoría queda descrita en términos del vierbein, la conexión de Lorentz y el grupo de Poincaré, que es el grupo de simetrías de la misma.

Gauge theories are studied in the abstract framework of Differential Geometry. This includes: Lie groups, actions, bre bundles, connections, curvatures, etc. These topics are covered throughout the rst sections with the intention to serve as an introduction. After that, the main focus is to present numerous examples, with the highest amount of detail posible. Electromagnetism is analyzed, starting with classical freedom to chose the electromagnetic potencial. Thereafter, the theory is described in terms of U(1)-principal bundles. Dirac monopoles are also studied, providing an example of a case where bre bundles are non-trivial. Electromagnetic theory is generalized to Yang-Mills theories and the conditions for the existence of such theories is examinated. The aim of the last chapter is to introduce gravity in 2+1 dimensions with a Chern-Simons action as a gauge theory. In this case, the theory is discribed in terms of the bundle of frames, the Lorentz connection and the Poincaré Group being the symmetry group for the theory.