Compleción en geometría

Abstract

En este trabajo se estudian las compleciones algerbáicas. Para ello se ha dividido el texto en cuatro capítulos, donde cada uno de ellos se centra en un aspecto diferente. En el primer capítulo se estudian los límites y las topología lineales, pues son conceptos imprescindibles para entender las compleciones. En el segundo capítulo del trabajo se definen las compleciones y se estudian sus propiedades, tanto algebráicas como topológicas. Además, definimos las sucesiones de Cauchy, y probamos que los anillos completos son aquellos donde todas las sucesiones de Cauchy connvergen. Para hacer la compleción de un anillo, hay que definir la topología linear mediante la cuál se va a hacer. En este sentido, la topología más usada es la I-ádica. En el tercer capítulo, estudiamos esta topología. Probaremos el lema de Artin-Rees y el teorema de la intersección de Krull. Por último, en el cuarto capítulo probamos el lema de Hensel. Definimos los anillos henselianos como aquellos que satisfacen resultado del lema y estudiamos cómo son estos anillos. Además, acabaremos el trabajo definiendo la henselización de anillos locales mediante propiedades universales, después veremos que para todo anillo local existe su henselización.