Espacios de Sobolev y la formulación variacional de problemas de contorno elípticos en dimensión n

Abstract

Los espacios de Sobolev constituyen una herramienta fundamental en numerosas ramas del Análisis Matemático. En particular la teoría de ecuaciones en derivadas parciales, tanto lineales como no lineales, se desarrollan de forma esencial en base a estos espacios. La idea que subyace a su construcción es similar a la de los espacios de funciones diferenciables hasta cierto orden, pero en lugar de utilizar la norma del máximo sobre dichas funciones se utilizan normas integrales asociadas a los espacios Lp. Estos espacios son esencialmente más fáciles de manejar y poseen mejores propiedades que los espacios de funciones continuas: en particular los espacios de Sobolev correspondientes a la norma L2 son espacios de Hilbert, lo que posibilita utilizar todas las herramientas asociadas a la geometría euclídea de estos espacios. El problema que acarrea este enfoque es que la derivación no debe entenderse en el sentido usual de las diferenciales en cada punto, sino en el sentido de las distribuciones, lo que hace necesario utilizar varios teoremas de aproximación por funciones regulares para demostrar los teoremas fundamentales.