Introducción al análisis y la geometría de las funciones convexas y aplicaciones: medidas y gradientes

Abstract

Este trabajo es una introducción al estudio de funciones convexas y conjuntos convexos. Proponemos algunos de los resultados básicos de la teoría y algunas aplicaciones de diversa índole. Por un lado aplicaciones al análisis, probando desigualdades notables y dedicando un capítulo extenso a estudiar propiedades de las funciones Gamma y Beta. Por otro lado, presentamos la desigualdad isoperimétrica como una aplicación clásica a la teoría de la medida de Lebesgue. Por último, recogemos una aplicación más reciente a los sistemas dinámicos, que entronca con las líneas de investigación del equipo ECSING al que pertenece el tutor de este trabajo: la desigualdad de Lojasiewicz para funciones convexas semicontinuas y y subanalíticas. Esta desigualdad permite probar la longitud finita de trayectorias del sistema dinámico definido por el (solo) gradiente de una tal función y podría ser útil para tratar el problema del gradiente de funciones análiticas tras proceso de reducción de singularidades.