La completitud del conjunto de las exponenciales complejas

Abstract

Decimos que un subconjunto S de un espacio normado X es completo en X si cada elemento de este último puede ser aproximado con precisión arbitraria en la norma de X por combinaciones lineales de elementos de S. La completitud de los conjuntos de exponenciales complejas guarda una estrecha relación con los ceros de determinadas funciones enteras, hecho que permite simplificar su estudio y les confiere unas propiedades excepcionales. El objetivo de este trabajo es, siguiendo el tercer capítulo de Introduction to nonharmonic Fourier Series, de R. M. Young, hacer un repaso a algunas de las condiciones suficientes de completitud para este tipo de conjuntos en los espacios L p y C , de funciones complejas definidas en [−A, A], así como examinar las propiedades más características de este tipo de sistemas, revisando previamente algunos resultados necesarios. Para ello, se comenzará analizando algunas generalidades de los espacios que nos interesan y de los sistemas de exponenciales. Posteriormente, se estudiarán el conocido sistema trigonométrico y sistemas en algún sentido próximos a él, y se concluirá con una serie de interesantes propiedades de los conjuntos de exponenciales complejas.

We say that a subset S of a normed space X is complete in X if every element of the latter can be arbitrarily closely approximated in the norm of X by linear combinations of elements from S. The completeness of sets of complex exponentials is closely related to the zeros of certain entire functions, a fact that simplifies their study and confers them exceptional properties. The aim of this work is, following R. M. Young’s Introduction to nonharmonic Fourier Series, to review some of the sufficient conditions for completeness for this type of sets in the spaces L p and C , of complex functions defined on [−A, A], as well as to examine the most characteristic properties of such systems, previously reviewing some necessary results. To achieve this, we will begin by analyzing some generalities of both the spaces of interest and the exponential systems. Subsequently, we will study the well-known trigonometric system and systems in some sense close to it, concluding with a series of interesting properties of sets of complex exponentials.