Factorización para funciones enteras

Abstract

Dada una cantidad finita de números complejos z1, z2, ..., zn, es fácil encontrar una función entera cuyos ceros coincidan con los puntos prefijados anteriormente. Para ello, basta considerar el polinomio de grado n dado por p(z) = (z − z1)(z − z2)...(z − zn). Si quisiéramos que una función tuviera un cero de orden mk en el punto zk, la solución estaría en repetir el factor (z − zk) exactamente mk veces en el producto que define el polinomio p(z). El problema que se pretende ilustrar en este trabajo de fin de grado consiste en dar respuesta a la pregunta de qué ocurriría en el caso de disponer de una cantidad infinita de puntos dados. Como ejemplo, si considerásemos la sucesión de los números enteros, la función f(z) = sin(πz) es entera y se anula en dichos puntos. Para desarrollar este trabajo será necesario abordar la teoría de productos infinitos y orden de una función entera con el fin de dar una prueba de los teoremas de factorización de funciones enteras clásicos en variable compleja: el teorema de factorización de Weierstrass y el teorema de factorización de Hadamard.

Given a finite amount of complex numbers z1, z2, ..., zn,it is easy to find an entire function whose zeros coincide with the previously fixed points. To do this, it is enough to consider the degree n polynomial given by p(z) = (z − z1)(z − z2)...(z − zn). If we want a function to have a zero of order mk at the point zk the solution would be to repeat the factor (z − zk) exactly mk times in the product that defines the polynomial p(z). The problem intended to be illustrated in this undergraduate thesis is to answer the question of what would happen in the case of having an infinite number of given points. As an example, if we consider the sequence of integers, the function f(z) = sin(πz) s entire and vanishes at these points. To develop this work, it will be necessary to address the theory of infinite products and the order of an entire function in order to provide a proof of the classical factorization theorems of entire functions in complex variables: the Weierstrass factorization theorem and the Hadamard factorization theorem.