Principio de extensión para la construcción de sistemas framelets

Abstract

La teoría wavelet es ampliamente aplicable en diversos campos, desde el procesamiento de señales hasta la detección de patrones en datos complejos, gracias a su capacidad para descomponer señales en diferentes escalas y localizaciones. Los frames, una generalización de las bases tradicionales, permiten descripciones redundantes y más adaptables. Uniendo ambos conceptos surgen los sistemas framelets. Estos son familias finitas de funciones que comparten propiedades similares a las wavelets, pero dentro de un marco más general, el de los frames, siendo cruciales en el procesamiento de señales. Encontrar sistemas de framelets es esencial para operaciones como compresión, descomposición y reconstrucción de señales. Sin embargo, la construcción de estos es una tarea complicada. El objetivo de este trabajo es presentar los principios de Extensión Unitaria y Oblicua, los cuales permiten la construcción de sistemas framelets a partir de ciertas condiciones. Se realiza una revisión de los diferentes planteamientos que han llevado a estos principios, se presentan algunos ejemplos y se comentará la generalización que supuso el último de los planteamientos.

Wavelet theory is widely applicable in various fields, from signal processing to pattern detection in complex data, thanks to its ability to decompose signals into different scales and locations. Frames, a generalization of traditional bases, allow for redundant and more adaptable descriptions. Combining both concepts gives rise to framelet systems. These are finite families of functions that share properties similar to wavelets but within a more general framework, that of frames, being crucial in signal processing. Finding framelet systems is essential for operations such as compression, decomposition, and reconstruction of signals. However, constructing these systems is a complicated task. The aim of this work is to present the Unitary and Oblique Extension principles, which allow for the construction of framelet systems from certain conditions. A review of the different approaches that have led to these principles is conducted, some examples are presented, and the generalization that the latest approach entailed will be discussed.