Combinatorial aspects of sequences of blow-ups

Abstract

We study sequences of blow-ups at smooth centers $Z_{s}\xrightarrow{\pi_{s}} Z_{s-1}\xrightarrow{\pi_{s-1}}\cdot\cdot\cdot\xrightarrow{\pi_{2}} Z_{1}\xrightarrow{\pi_{1}} Z_{0}$ and the associated sequential morphism $\pi: Z_{s}\rightarrow Z_{0}$. To this end, we introduce the key concept of a final divisor, that is, an irreducible exceptional component for which there exists an open set $U_{i}$ on $Z_{i}$, with $E_{i}^{i}\subset U_{i}$, such that the restriction of the composition $\pi_{i+1}\circ\pi_{i+2}\circ...\circ\pi_{s-1}\circ\pi_{s}\vert_{U_{i}}$ defines an isomorphism. Furthermore, we study the admissible proximity relations between two final divisors with non empty intersection.\\ In the case of sequences of point blow-ups in arbitrary dimension and the corresponding sequential morphisms, we define two equivalence relations: the algebraic equivalence and the combinatorial equivalence, which allow us to classify them. By proving a result that characterizes final divisors in terms of some relations defined over the Chow group of zero-cycles of its sky, we are able to recover the sequence of blow-ups, modulo algebraic equivalence, from the associated sequential morphism. As a result, we establish a connection between the corresponding algebraic and combinatorial equivalence classes of these two objects. Moreover, we give an explicit presentation of an algebraic object associated to the sky of a sequence, that is its Chow ring $A^{\bullet}(Z_{s})$, and obtain a surprising result: two sequences of blow-ups of the same length have isomorphic Chow rings. \\ In the case of sequences of point and rational curve blow-ups, we also characterize final divisors by explicitly giving their defining relations over $A_{0}(Z_{s})$, and we introduce an explicit presentation of the Chow ring of its sky $A^{\bullet}(Z_{s})$. By contrast to the case of sequences of point blow-ups, we prove that two sequences of point and rational curve blow-ups may not have isomorphic Chow rings even if they have the same length and proximity relations.

En este trabajo se estudian secuencias de explosiones en centros lisos $Z_{s}\xrightarrow{\pi_{s}} Z_{s-1}\xrightarrow{\pi_{s-1}}\cdot\cdot\cdot\xrightarrow{\pi_{2}} Z_{1}\xrightarrow{\pi_{1}} Z_{0}$ y los correspondientes morfismos secuenciales asociados $\pi: Z_{s}\rightarrow Z_{0}$. Con este objetivo, se introduce el concepto clave de divisor final, que se define como una componente irreducible del divisor excepcional $E_{i}$ para la que existe un abierto $U_{i}$ en $Z_{i}$, tal que $E_{i}^{i}\subset U_{i}$, y de modo que la restricción de la composición $\pi_{i+1}\circ\pi_{i+2}\circ...\circ\pi_{s-1}\circ\pi_{s}\vert_{U_{i}}$ define un isomorfismo. Además, se estudian las posibles relaciones de proximidad entre dos divisores finales que tienen intersección no vacía. \\ En el caso de secuencias de explosiones en puntos en dimensión arbitraria y de sus correspondientes morfismos secuenciales, se definen dos relaciones de equivalencia: la equivalencia algebraica y la equivalencia combinatoria, que nos permite clasificarlos. A través de un resultado que caracteriza los divisores finales en términos de relaciones sobre el grupo de Chow de 0-ciclos del cielo de la secuencia, se puede recuperar la secuencia de explosiones, módulo equivalencia algebraica, a partir del morfismo secuencial correspondiente. Como consecuencia, se establece una conexión entre las clases de equivalencia algebraica y combinatoria de estos dos objetos. Además, se da una presentación explícita de un objeto algebraico asociado al cielo de la secuencia, su anillo de Chow $A^{\bullet}(Z_{s})$, y se demuestra un resultado sorprendente: dos secuencias de explosiones de la misma longitud tienen anillos de Chow isomorfos. \\ En el caso de secuencias de explosiones en puntos y curvas racionales, también se carateriza los divisores finales dando explícitamente relaciones sobre $A_{0}(Z_{s})$, y se introduce una presentación explícita del anillo de Chow de su cielo $A^{\bullet}(Z_{s})$. En contraste con lo que sucede en el caso de secuencias de explosiones en puntos, se demuestra que dos secuencias de explosiones en puntosy curvas racionales pueden no tener anillos de Chow isomorfos incluso si tienen la misma longitud y el mismo tipo de relaciones de proximidad.