El método de inmersión holomorfa para el problema de flujo de cargas

Abstract

Uno de los problemas centrales en el ámbito de las redes eléctricas de corriente alterna es el problema de flujo de carga. Este problema consiste en obtener la solución compleja físicamente factible de un sistema de ecuaciones no lineales para obtener el valor del voltaje en los nodos de la red, si existe. Existen diversos métodos que se han propuesto para resolver este problema, incluyendo métodos iterativos como el de Newton-Raphson o de Gauss-Seidel, métodos algebraicos basados en bases de Groebner y homotopías polinómicas. Sin embargo, estos problemas tienen problemas de convergencia o de alto coste computacional en algunos casos. Como alternativa a estos métodos se desarrolla el método de inmersión holomorfa propuesto en [23]. Este método consiste en realizar una modificación del problema añadiendo una variable auxiliar, resolver dicha modificación para un cierto valor de la variable auxiliar y realizar una continuación analítica de esa solución para obtener la solución del problema original. Este método tiene buenas propiedades de convergencia cuando el ideal generado por los polinomios que definen el sistema de ecuaciones modificado cumple una determinada propiedad algebraica, que está relacionada con la existencia de cierta curva algebraica. Matemáticamente, se trata de un método multidisciplinar, basado en técnicas de análisis complejo y geometría algebraica computacional.

One of the central problems in the field of alternating-current power networks is the load-flow problem. It consists in obtaining, if it exists, the physically admissible complex solution of a nonlinear system of equations in order to determine the voltage at the network nodes. Various methods have been proposed to solve this problem, including iterative methods such as Newton–Raphson and Gauss–Seidel, and algebraic methods based on Groebner bases and polynomial homotopies. However, these methods can exhibit convergence difficulties or high computational cost in certain cases. As an alternative to these approaches, the holomorphic embedding method proposed in [23] is developed. This method modifies the problem by introducing an auxiliary variable, solves the modified system for a certain value of that variable, and then performs an analytic continuation of that solution to recover the solution of the original problem. The method enjoys favorable convergence properties when the ideal generated by the polynomials defining the modified system satisfies a specific algebraic condition, which is related to the existence of a certain algebraic curve. Mathematically, it is a multidisciplinary method grounded in techniques from complex analysis and computational algebraic geometry.