Puentes de Schrödinger. Aplicaciones en métodos generativos

Abstract

El problema del Puente de Schrödinger es el de encontrar, de entre todas las distribuciones posibles en el espacio de funciones continuas de [0, 1] en R d con marginales inicial y final fijadas, la que minimice la divergencia de Kullback con respecto a la medida inducida por un movimiento Browniano reversible. Este problema está relacionado con el problema de transporte óptimo con regularización entrópica y permite, de hecho [25] y [26], reinterpretar este problema mediante una formulación dinámica similar a la introducida en Benamou y Brenier [2]. Recientemente este problema ha recibido mucha atención por su conexión con los métodos generativos basados en procesos de difusión. En estos métodos se busca aproximar una familia de transformaciones indexada por t ∈ [0, 1] que convierta suavemente una distribución de referencia, frecuentemente Gaussiana, en otra distribución, idealmente la subyacente a la muestra de datos de interés. Muchos de estos métodos recorren un doble camino progresivo-regresivo [33]. Primero se construye un proceso de difusión cuya distribución de equilibrio sea la distribución de referencia. La inversión temporal del proceso es, de nuevo, un proceso de difusión, que se podría emplear en la generación de nuevas observaciones de la distribución objetivo. El coeficiente de deriva de este proceso invertido depende de la función score de la densidad marginal del proceso de difusión, lo que obliga a emplear alguna técnica de estimación de tal score (procedimiento conocido como score matching). En este contexto el recurso a los puentes de Schrödinger puede suponer cierta economía, puesto que la resolución numérica del problema mediante el algoritmo de Sinkhorn proporciona como subproducto la estimación necesaria de las funciones score [32]. En este TFM se pretende desarrollar la teoría necesaria para conectar las distintas formulaciones (estática y dinámica) de los problemas de transporte clásico y entrópico con el marco de los procesos de difusión. Adicionalmente, se explorará el rendimiento en la práctica del método basado en puentes de Schrödinger en el contexto de la generación de imágenes, comparando con otras alternativas actuales.