Two problems in the local geometry of real analytic dynamical systems. Planar diffeomorphisms and three dimensional hopf vector fields

Abstract

This PhD thesis can be framed in the Local Geometry of Real Analytic Dynamical Systems. We deal with two different (but related) problems concerning this topic. The first problem deals with the discrete dynamical systems generated by the iteration of the germ of a two dimensional real analytic diffeomorphism that fixes a point. The second problem deals with the dynamics generated by the flow of the germ of three dimensional real analytic singular vector field. Roughly, the two principal results that we present in this text are the following ones: Problem I. Sectorial decomposition of germs of tangent to the identity real analytic plane diffeomorphisms. Under the (necessary) hypothesis that F is of "non center-focus type", we prove that there exists a partition of a neighborhood U of the fixed point into a finite number of topological submanifolds, such that the orbits of F on each submanifold have a uniform well-established asymptotic behavior. As a consequence, we obtain that the set of periodic points of F in U coincides with the set of fixed points. Under some non-degeneracy conditions (that hold in particular when the fixed point is an isolated fixed point of F), U can be assumed to be a semi-analytic open set and that each stratum is a real analytic submanifold. Problem II. Description of the local cycle locus and Dulac's problem for germs of real analytic vector fields at the origin of R^3. Here we take such germs with a Hopf singularity at 0, i.e. whose linear part has two conjugated purely imaginary eigenvalues. For these vector fields, we prove that the union of all the cycles (periodic trajectories) in a sufficiently small neighborhood of 0 is empty, or equal to a finite number of subanalytic surfaces, or a dense open set (in fact the compliment of the singular locus). We also give a characterization of the last situation in terms of analytic linearization of the foliation generated by the vector field and in terms of complete integrability. As a consequence, we obtain that there cannot exist infinitely many isolated cycles accumulating and collapsing to 0 (Dulac's property).

Esta tesis doctoral puede enmarcarse en la Geometría Local de Sistemas Dinámicos Analíticos Reales. Abordamos dos problemas diferentes (pero relacionados) relativos a este tema. El primer problema trata los sistemas dinámicos discretos generados por la iteración del germen de un difeomorfismo analítico real en dimensión dos que fija un punto. El segundo problema trata de la dinámica generada por el flujo del germen de un campo de vectores singular analítico real en dimensión tres. Los dos principales resultados que presentamos en este texto son los siguientes: Problema I. Descomposición sectorial de gérmenes de difeomorfismos del plano analítico real tangentes a la identidad. Bajo la hipótesis (necesaria) de que F es de «tipo no centro-foco», probamos que existe una partición de un entorno U del punto fijo en un número finito de subvariedades topológicas, de manera que las órbitas de F en cada subvariedad tienen un comportamiento asintótico uniforme bien establecido. Como consecuencia, obtenemos que el conjunto de puntos periódicos de F en U coincide con el conjunto de puntos fijos. Bajo algunas condiciones de no-degeneración (que se cumplen en particular cuando el punto fijo es un punto fijo aislado de F), puede suponerse que U es un conjunto abierto semi-analítico y que cada estrato es una subvariedad analítica real. Problema II. Descripción del lugar local de ciclos y problema de Dulac para gérmenes de campos de vectores analíticos reales en el origen de R^3. Aquí tomamos tales gérmenes con una singularidad de Hopf en 0, es decir, cuya parte lineal tiene dos valores propios conjugados puramente imaginarios. Para estos campos de vectores, demostramos que la unión de todos los ciclos (trayectorias periódicas) en una vecindad suficientemente pequeña de 0 es vacía, o es igual a un número finito de superficies subanalíticas, o es igual a un conjunto abierto denso (de hecho, el complemento del lugar singular). También damos una caracterización de la última situación en términos de linealización analítica de la foliación generada por el campo vectores y en términos de integrabilidad completa. Como consecuencia, obtenemos que no pueden existir infinitos ciclos aislados que se acumulen y colapsen a 0 (propiedad de Dulac).