Una teoría birracional para grafos acíclicos

Abstract

El trabajo de esta tesis está motivado por problemas como los siguientes: 1) dada una configuración geométrica formada por subvariedades de una variedad algebraica, encontrar la evolución grafica de dicha configuración por transformaciones birracionales (principalmente sucesiones de explosiones con centros lisos). 2) dado un grafo, asociar al mismo invariantes numéricos que lo determinen completamente. 3) dar métodos que permitan relacionar y clasificar los grafos de acuerdo con su estructura interna. 4) clasificar y determinar la estructura de los espacios topológicos finitos. 5) dar métodos sistemáticos que permitan realizar cómputos o cálculos enumerativos sobre grafos o espacios topológicos. todos estos problemas pueden ser abordados conjuntamente si se dispone de un lenguaje birracional sobre los grafos. en la tesis se establece una teoría birracional para los grafos acíclicos que tiene como principal resultado la construcción de dos modelos canónicos y naturales en el contexto asociados a cada grafo acíclico. el primero es un bosque (el bosque de las cadenas) y permite reducir el estudio de un grafo al de un bosque mediante pasos elementales (explosiones en distintos niveles). el segundo, la explosión completada o geométrica, está inspirada en el problema 1) y permite asociar a cada grafo un bosque con estructura cubica (un complejo celular cubico, en particular). este es el grafo más natural posible y con estructura manejable que describe el comportamiento (geométrico) de un grafo arbitrario. La teoría birracional completa que se obtiene da, en particular, soluciones a los cinco problemas mencionados.