Integración algebraica de ecuaciones Fuchsianas. La ecuación hipergeométrica de Gauss

Abstract

La memoria del presente Trabajo de Fin de Máster (TFM) tiene como objeto analizar los valores de los parámetros para los cuales las soluciones de la ecuación hipergeométrica de Gauss tienen soluciones algebraicas sobre C(z). El resultado final, conocido como la Lista de Schwarz, afirma que podemos reducir los casos a una lista de 15 posibles elementos. Es decir, podremos afirmar que una solución de una ecuación hipergeométrica es algebraica si y solo si se puede, tras realizar las transformaciones pertinentes, encontrar en una lista determinada. En numerosos textos se trata este tema, pero pocos realizan una prueba concreta del resultado final, sin embargo, en este trabajo se puede observar una justificación detallada y precisa de los diferentes pasos que nos llevan hasta la demostración concreta del mismo. Para ello el trabajo consta de tres capítulos, los cuales se resumen a continuación: En el primero se tratan los resultados de la rama del análisis complejo que se van a utilizar en los siguientes, conceptos como prolongación analítica, funciones algebraicas, y alguna pincelada geométrica, vienen desarrollados en este capítulo. En el segundo se puede encontrar un análisis de las ecuaciones escalares holomorfas de orden arbitrario, intentando evitar, en la medida de lo posible, el tratamiento matricial del mismo. Se darán condiciones de existencia y unicidad en regiones, con una demostración del resultado basada en la aplicación conforme de Riemann. En los dominios más generales se define el concepto de solución de la ecuación, se estudia el grupo de monodromía y su relación con la existencia de soluciones algebraicas. En la parte final del capítulo se trabaja con las ecuaciones cuyas singularidades son más fácilmente tratables, las Fuchsianas. En el último capítulo, como aplicación de los anteriores, se analiza la ecuación hipergeom étrica, que es de tipo Fuchsiana. Se estudian, mediante argumentos principalmente geométricos, los casos en los que las funciones son algebraicas, para finalmente dar una justificación precisa de la Lista de Schwarz.