La aproximación minimax y el algoritmo de Remez. Aplicaciones

Abstract

El proyecto hará una presentación unificada de la teoría sobre la aproximación polinómica minimax continua y discreta, y la solución minimax de sistemas lineales: condición de Haar, algoritmo del intercambio y algoritmo de Remez. Parte del proyecto es la implementación efectiva en Matlab de los distintos algoritmos para la computación de aproximaciones óptimas en la norma infinito. El trabajo consta de tres partes: En el primer capítulo se repasan nociones fundamentales de teoría de la aproximación. Entre ellas se encuentran definiciones elementales como son la convexidad o envolvente convexa y ciertos teoremas de convexidad como el de Helly o el de Carathéodory, que posteriormente serán utilizados. También, ciertos resultados que garantizan la existencia y la unicidad de las mejores aproximaciones en espacios normados, algunos estudiados en el Grado. En el segundo capítulo se consideran los problemas de aproximación asociados a la solución de sistemas lineales de ecuaciones sobredeterminados. Cuando se trata de aproximaciones en la norma infinito, se enuncian teoremas de caracterización de la solución; se analiza el caso particular de hallar la solución minimax de un sistema de n+1 ecuaciones con n incógnitas. Para conseguir resolver los problemas, se estudian dos algoritmos: el ascendente y el descendente. Ambos están analizados y programados con el lenguaje de programación MATLAB. En el tercer y último capítulo se trata el problema general de la aproximación de una función continua en un intervalo compacto mediante un polinomio. Se habla también de un problema más general en que los polinomios serán reemplazados por otras funciones continuas. Se estudiará la teoría minimax, exponiendo el teorema de caracterizacion y ciertos teoremas que garantizan la unicidad y que acotan el error en dicha teoría. Además, se explicará el algoritmo de intercambio de Remez, el cual se implementará en MATLAB.