Integración numérica de algunos modelos de taxis-reacción-difusión relacionados con el crecimiento de tumores

Abstract

En este trabajo, dentro del contexto de la simulación numérica de ecuaciones de advección-reacción-difusión, se aborda el estudio de métodos Runge-Kutta linealmente implícitos para la integración temporal de los sistemas diferenciales resultantes tras la discretización espacial de dichas ecuaciones. En la primera sección se plantean los métodos Runge-Kutta linealmente implícitos, se formaliza la correspondiente teoría general del orden y se lleva a cabo un estudio de su estabilidad lineal proponiendo una ecuación test adecuada. También se presenta el par encajado de métodos que se va a emplear en los experimentos numéricos y se detallan los pasos necesarios para implementar el método con paso variable. En la segunda sección se describen los procesos biológicos que tienen lugar durante el desarrollo de los tumores en dos contextos distintos. Esto nos permite comprender las ecuaciones empleadas para modelar dichos fenómenos, así como entender e interpretar correctamente los resultados obtenidos, no solo desde el punto de vista matemático. En la tercera sección se detallan los pormenores de la discretización espacial de las ecuaciones de los modelos, y se muestran las dificultades que han ido apareciendo, junto con las técnicas implementadas para solventarlas. Finalmente, dentro de esta sección se presentan los resultados numéricos obtenidos y se describen las características matemáticas y biológicas de las soluciones halladas. Por último, en el apéndice se pueden ver los códigos que resuelven cada uno de los problemas planteados, implementados en Matlab.