Introducción a la teoría de Galois diferencial

Abstract

En este trabajo intentamos entender la teoría de Galois diferencial y su analogía con la teoría de Galois clásica. En el primer capítulo, introducimos la idea de derivación y ampliamos los conceptos algebraicos al caso diferencial (ideales diferenciales, morfismos diferenciales, etc.). En el segundo estudiamos los isomorfismos admisibles y vemos varios resultados relacionados con estos, que serán necesarios más adelante. En el tercer capítulo, se introduce la teoría de Galois diferencial y las extensiones de Picard- Vessiot, con un papel similar al de los cuerpos de descomposición de la teoría clásica, y se dan los resultados habituales en términos diferenciales. En el cuarto capítulo se hace un repaso de la idea de conjunto algebraico y la topología de Zariski y se introducen los grupos algebraicos, que relacionaremos con el grupo de Galois diferencial de las extensiones de Picard-Vessiot en el capítulo cinco. En este último capítulo, se dan los pasos finales hasta llegar al objetivo del trabajo: el teorema fundamental de la teoría de Galois diferencial, análogo al teorema fundamental de la teoría de Galois clásica.

In this project we aim to understand the differential Galois theory and its analogy to classic Galois theory. In the first chapter, we introduce the idea of derivation and extend algebraic concepts to the differential case (differential ideals, differential morphisms, etc.). In the second chapter, we study admissible isomorphisms and explore various related results that will be necessary later on. The third chapter introduces differential Galois theory and Picard-Vessiot extensions, which play a similar role to splitting fields in classical theory, and presents the usual results in differential terms. The fourth chapter provides an overview of the notion of algebraic set and Zariski topology, and introduces algebraic groups, which we will relate to the differential Galois group of Picard-Vessiot extensions in the fifth chapter. In this last chapter, we present the final steps to reach the project’s goal: the fundamental theorem of differential Galois theory, analogous to the fundamental theorem of classical Galois theory.