Pesos de Hamming generalizados y números de Betti

Abstract

Los pesos de Hamming generalizados de un código C son un conjunto de parámetros del código, que generalizan su distancia mínima. Dada una matroide M, podemos definir también sus pesos generalizados. En caso de que M sea la matroide asociada a una matriz de control H del código C, los pesos de la matroide coinciden con los pesos de Hamming del código. El objetivo de este trabajo es, siguiendo [JV13], demostrar la relación que existe entre los pesos generalizados de una matroide M, y los números de Betti Ngraduados del anillo de Stanley-Reisner asociado al complejo simplicial Δ de conjuntos independientes de M. Dichos números de Betti pueden calcularse a través de la resolución graduada minimal del anillo de Stanley-Reisner del complejo.

Generalized Hamming weights of a code C are a set of parameters that generalize its minimum distance. One may also define generalized weights for any matroid M. If M is the matroid associated to a parity check matrix of the code, both definitions coincide. The set of independent sets of a matroid is a simplicial complex, Δ. The aim of this project is, using [JV13] as main reference, to show the relation between the N-graded Betti numbers of the Stanley-Reisner ring of the simplicial complex Δ and the generalized weights of a matroid M. Such Betti numbers can be computed with the graded minimal resolution of the Stanley-Reisner ring associated to Δ.