Series de Dirichlet

Abstract

Se presenta la teoría elemental de las series de Dirichlet. En la medida de lo posible se considera el caso general, en el que los pesos que aparecen en su definición forman una sucesión creciente hacia infinito. Sin embargo, para el estudio de algunos aspectos se considera el caso ordinario, en el que los pesos son los logaritmos de los naturales. Se analizan resultados relativos a la posición de las abscisas de convergencia (usual, absoluta y uniforme), la regularidad y el comportamiento asintótico de la función suma, la presencia de singularidades en la recta vertical dada por la abscisa de convergencia, etc. También se estudia la relación de las series de Dirichlet con la teoría de números, proporcionando ejemplos que ilustren el uso de herramientas como la convolución de Dirichlet.

The elementary theory of Dirichlet series is presented. As much as possible, the general case is considered, where the weights appearing in the definition form an increasing sequence towards infinity. However, for the study of some aspects, the ordinary case is considered, where the weights are the logarithms of the natural numbers. Results related to the position of the abscissas of convergence (ordinary, absolute and uniform), the regularity and asymptotic behavior of the sum function and the presence of singularities on the vertical line given by the abscissa of convergence are analyzed. The relationship of Dirichlet series with number theory is also studied, providing examples that illustrate the use of tools such as Dirichlet convolution.