Arreglos de Hiperplanos

Abstract

En este Trabajo de Fin de Grado nos centramos en desarrollar la teoría de arreglos de hiperplanos. Nuestro objetivo es, siguiendo el texto 'An Introduction to Hyperplane Arrangementes', de Richard Stanley, comprender y exponer importantes resultados de esta teoría, con sus pertinentes demostraciones. Se explicarán conceptos algebraicos importantes estrechamente relacionados, como la teoría de posets y retículos o el álgebra de Möbius, para afianzar y desarrollar nuestra comprensión de esta teoría, y se tratarán aspectos combinatorios, como el cómputo de regiones. También se relacionará toda esta teoría con la teoría de grafos y matroides, desarrollando algunos aspectos y definiciones más básicas de ambos objetos matemáticos, y se aunarán con la teoría de arreglos previamente desarrollada. También se tratará el método de cuerpos finitos y se ejemplificarán algunos arreglos de interés.

In this Final Degree Project we focus on developing the theory of hyperplane arrangements. Our objective is, following [6], to understand and present important results of this theory, with its pertinent demonstrations. Important, closely related algebraic concepts, such as the theory of posets and lattices or M¨obius algebra, will be explained to strengthen and develop our understanding of this theory, and combinatorial aspects, such as the computation of regions, will be covered. This entire theory will also be related to the theory of graphs and matroids, developing some more basic aspects and definitions of both mathematical objects, and they will be combined with the previously developed arrangement theory. The finite fields method will also be discussed and some arrangements of interest will be exemplified.