Álgebras de Banach y teoría espectral

Abstract

En este trabajo se presentan las álgebras de Banach, estructura base de la teoría de Gelfand. Se tratan los homomorfismos entre álgebras de Banach, en particular los homomorfismos complejos, que formarían el espectro del álgebra. En estas álgebras se define y estudia el espectro y el radio espectral de cada elemento. Dotando a las álgebras de Banach con una involución se llega a un caso particular interesante, las C*-´algebras. Se estudia la teoría de Gelfand para ∗-álgebras conmutativas, relacionando sus ideales maximales con los elementos de su espectro. El teorema de Gelfand-Naimark caracteriza las C*-álgebras conmutativas estableciendo un isomorfismo isométrico con el espacio de las funciones continuas en su espectro dotado de cierta topología por medio de la transformada de Gelfand. Se introducen los espacios con producto interno y sus completados, los espacios de Hilbert. El espacio de operadores acotados en un espacio de Hilbert es una C*-álgebra. Se presentan dos versiones del teorema espectral para una C*-sub álgebra unitaria de este espacio de operadores, un caso particular para operadores normales, una versión para el caso no unitario y una versión para una ∗-álgebra de Banach conmutativa abstracta.

This paper presents Banach algebras, the basic structure of Gelfand’s theory. The homomorphisms between Banach algebras are treated, in particular the complex homomorphisms, which will form the spectrum of the algebra. In these algebras, the spectrum and the spectral radius of each element are defined and studied. By endowing Banach algebras with an involution we arrive at an interesting particular case, the C*-algebras. The Gelfand theory for commutative ∗-algebras is studied, relating their maximal ideals to the elements of their spectrum. The Gelfand-Naimark theorem characterises commutative C*-algebras by establishing an isometric isomorphism with the space of continuous functions in their spectrum endowed with a certain topology by means of the Gelfand transform. The spaces with inner product and their completes, the Hilbert spaces, are introduced. The space of bounded operators on a Hilbert space is a C*-algebra. Two versions of the spectral theorem are presented for a unitary C*-subalgebra of this operator space, a particular case for normal operators, a version for the non-unitary case and a version for an abstract commutative Banach ∗-algebra.