Ideales tropicales

Abstract

Los ideales tropicales, introducidos en [MR18], son una clase de ideales definidos sobre el semianillo de polinomios tropicales. Estos ideales engloban las tropicalizaciones de los ideales clásicos y mantienen una estrecha relación con las matroides valoradas. El objetivo principal de este trabajo es explorar dicha relación y mostrar las propiedades y resultados más relevantes acerca de los ideales tropicales. En particular, demostraremos que, al igual que en el caso clásico, se puede definir una función de Hilbert para estos ideales, aprovechando su relación con las matroides. Probaremos también que satisfacen la condición de cadena ascendente, pese a no ser finitamente generados, y presentaremos una versión tropical del Nullstellensatz. Finalmente, estudiaremos las variedades definidas por los ideales tropicales y mostraremos que se tratan de complejos poliedrales finitos.

Tropical ideals form a class of ideales defined in the semiring of tropical polynomials, as introduced in [MR18]. These ideals include the tropicalizations of classical ideals and show a close connection to valuated matroids. The aim of this project is to investigate that relation and show the most important properties and results concerning tropical ideals. In particular, we will show that, similar to the classical framework, it is possible to define a Hilbert function for these ideals. Every tropical ideal has an associated variety, which we will demonstrate is a finite polyhedral complex. We will also prove that they satisfy the ascending chain condition, although they are not finitely generated, and we show that they satisfy a tropical version of Nullstellensatz.