Cálculos con series de potencias. Anillos completos

Abstract

Este trabajo tiene como objetivo el estudio de los anillos de series de potencias formales, explorando en qué medida se puede trasladar parte de la teoráa de los anillos de polinomios. Se abordan conceptos fundamentales de álgebra conmutativa, como la localización, los anillos noetherianos, los módulos y las extensiones de anillos. Posteriormente, se estudian las propiedades algebraicas y topológicas de los anillos de series de potencias, centrándose en los teoremas de División y Preparación de Weierstrass, que generalizan el algoritmo de la división euclídea en este contexto. Finalmente, se introduce el concepto de base estándar y su importancia en el cálculo computacional dentro de la geometría analítica local.

This thesis focuses on the study of formal power series rings, examining to what extent part of the theory of polynomial rings can be extended to this context. Key notions from commutative algebra are revisited, such as localization, Noetherian rings, modules, and ring extensions. The algebraic and topological structure of formal power series rings is then explored, emphasizing the Weierstrass Division and Preparation Theorems, which generalize the Euclidean division algorithm. This work concludes with the introduction of standard bases and their relevance for computational purposes in local analytic geometry.