Criptografía de curva elíptica: teoría, seguridad e implementación

Abstract

El objetivo de este trabajo es estudiar la criptografía de curva elíptica (ECC) desde tres enfoques complementarios: teórico, criptográfico y práctico. En el plano teórico, se presentan los fundamentos de la criptografía y se introducen las curvas elípticas junto con sus propiedades algebraicas esenciales. Se presta especial atención a su comportamiento sobre cuerpos finitos, incluyendo el endomorfismo de Frobenius, el teorema de Hasse y el problema del logaritmo discreto en curvas elípticas (ECDLP), base de su seguridad. Desde el punto de vista criptográfico, se analizan los principales algoritmos conocidos para resolver el ECDLP, evaluando su complejidad y efectividad. Finalmente, en el nivel práctico, se implementa un sistema completo de intercambio de claves utilizando ECC. A través de pruebas con claves de tamaño reducido, se ilustra empíricamente el crecimiento exponencial de la complejidad asociado al tamano de la clave, lo que evidencia la solidez de la curva elíptica como herramienta criptográfica.

This work explores elliptic curve cryptography (ECC) from three interconnected angles: theory, security, and implementation. On the theoretical side, it introduces the foundations of cryptography and develops the algebraic structure of elliptic curves, with a focus on their behavior over finite fields. Key concepts such as the Frobenius endomorphism, Hasse’s theorem, and the elliptic curve discrete logarithm problem (ECDLP) are examined in depth. The security section analyzes the most effective known attacks on the ECDLP, which forms the basis of ECC’s cryptographic strength. Finally, the practical component involves implementing a complete key exchange system using ECC. By testing small key sizes, the exponential growth in complexity as key length increases is demonstrated, highlighting the robustness of elliptic curves in secure communication protocols.