El abanico de Gröbner y sus aplicaciones

Abstract

Un cono poliédrico σ del espacio afín es un cono definido por hiperplanos con coeficientes racionales. Es bien conocido que que estos conos están generados por un número finito de rayos. Un abanico poliédrico Σ es un complejo formado por conos. Dado un ideal de polinomios I podemos asociarle un abanico GF(I) llamado abanico de Gröbner tal que los puntos racionales de un mismo cono σ corresponden a órdenes monomiales que comparten la misma base de Gröbner del ideal. Este trabajo pretende estudiar estos abanicos [FJT] y una aplicación a la geometría tórica. También se realizará algún cálculo de abanicos de Gröbner con el programa [Gfan] para dar ejemplos. El concepto de ecuación Newton no degenerada es bien conocido en la literatura, su extensión a un ideal cualquiera se utiliza en [AGS] para probar que dichos ideales admiten una resolución de singularidades llamada modificación tórica. Este morfismo se puede construir gracias a una versión local del abanico de Gröbner Σ(I).

A polyhedral cone σ in affine space is a cone defined by hyperplanes with rational coefficients. It is well known that these cones are generated by a finite number of rays. A polyhedral fan Σ is a complex formed by cones. Given an polynomial ideal I, we can associate it to a fan GF(I), called the Gröbner fan, such that the rational points of a given cone σ correspond to monomial orders that share the same Gröbner basis of the ideal. This work aims to study these fans [FJT] and an application to toric geometry. Some computations of Gröbner fans will also be carried out using the program [Gfan] to provide examples. The concept of a non-degenerate Newton equation is well known in the literature, and its extension to any ideal is used in [AGS] to prove that such ideals admit a resolution of singularities called a toric modification. This morphism can be constructed thanks to a local version of the Gröbner fan Σ(I).