Polinomios sobre anillos de división

Abstract

Los anillos de división constituyen la generalización no conmutativa de los cuerpos, y son fuente de resultados sorprendentes desde el punto de vista del álgebra conmutativa, pues la teoría de grupos no abelianos es mucho más compleja que la abeliana. En este trabajo estudiaremos los anillos de polinomios sobre anillos de división, constatando las diferencias esenciales existentes con la teoría de cuerpos. Analizaremos los anillos de polinomios por la izquierda y de polinomios generales (no conmutativos), centrándonos en la existencia de raíces en anillos de división. Veremos que un polinomio de grado n puede tener infinitas raíces, y la relación de éstas con las clases de conjugación (teorema de Gordon-Motzkin). Demostraremos que los cuaternios son algebraicamente cerrados para los polinomios por la izquierda (teorema de Niven) pero no para los polinomios generales. Estudiaremos cómo calcular las raíces de polinomios sobre los cuaternios a través del método de Janovská-Opfer y daremos la clasificación de Janovska y Opfer de las raíces de un subconjunto de polinomios generales para el que, por el teorema de Eilenberg-Niven, sabemos que los cuaternios son algebraicamente cerrados.