Teoremas de Picard. El rango de una función armónica en el plano

Abstract

El Teorema Pequeño y Grande de Picard son dos resultados fundamentales sobre el rango de funciones holomorfas. Se presentarán dos métodos distintos para probar estos teoremas. En la primera parte, se demostrará el Teorema Pequeño de Picard mediante el Teorema de Bloch y el Teorema Grande de Picard a través del Teorema de Schottky y el Teorema de MontelCarathéodory, así como utilizando familias normales de funciones con llegada a C∞. En la segunda parte, se abordará el estudio del rango de las funciones armónicas definidas en todo el plano complejo, proporcionando una perspectiva innovadora y real al Teorema Pequeño de Picard. Aunque esta segunda alternativa es más larga y tediosa, utiliza exclusivamente resultados clásicos sobre funciones armónicas y proporciona un teorema a partir del cual se derivará trivialmente el Teorema de Lewis y, posteriormente, el Teorema Pequeño de Picard.

Little and Great Picard’s Theorems are two well-known results on the range of holomorphic functions. In this Degree Thesis two ways of proving these findings will be presented. In particular, Little Picard’s Theorem will be proved through Bloch’s Theorem and the Great Picard’s Theorem through Schotkky’s Theorem and Montel-Carath´eodory’s Theorem, as well as through the use of normal families of functions with arrival at C∞. The second alternative for proving Little Picard’s Theorem, although longer and more tedious, provides an innovative real perspective to this theorem, using only and exclusively classical results on harmonic functions. In fact, a Theorem is presented and proved from which Lewis’ Theorem, as well as Picard’s Theorem, is trivially proved.