La ley de convergencia de tipos y el problema del transporte óptimo

Abstract

La Ley de Convergencia de Tipos es un resultado clave en la Teoría de la Probabilidad. Determina que las distribuciones límite que podemos obtener al modificar una sucesión de vectores aleatorios, a través de cambios en localizaciones y parámetros de forma, son necesariamente del mismo tipo. Como ejemplo notable, garantiza que en el Teorema Central del Límite solo puede obtenerse una distribución Gaussiana, y que la velocidad √ n es esencialmente la única posible. Por otra parte, el Problema del Transporte Optimo garantiza la existencia de funciones óptimas para minimizar el coste cuadrático del transporte de una distribución de probabilidades a otra. El trabajo consistirá en el estudio de ambos problemas y en el análisis de las conexiones y perspectivas que la denominada “descomposición polar” de Brenier, en el segundo, podría aportar al primero.

The Law of Convergence of Types is a key result in Probability Theory. It determines that the limit distributions that we can obtain by modifying a sequence of random vectors, through changes in locations and shape parameters, are necessarily of the same type. As a notable example, it guarantees that in the Central Limit Theorem only a Gaussian distribution can be obtained, and that the velocity √ n is essentially the only one possible. On the other hand, the Optimal Transport Problem guarantees the existence of optimal functions to minimize the quadratic cost of transport from one probability distribution to another. The work will consist in the study of both problems and in the analysis of the connections and perspectives that the so-called “polar decomposition” of Brenier, in the second one, could bring to the first one.