Clases de Gelfand-Shilov

Abstract

El objetivo fundamental de este trabajo es el de introducir las clases de Gelfand-Shilov y algunas de sus propiedades y caracterizaciones más interesantes. Se trabajará con las clases en su sentido más general posible, definiéndolas a través de sucesiones peso y de funciones peso, tanto en el sentido de Roumieu como en el de Beurling. Se comentará cómo actúan los operadores más usuales sobre ellas y se discutirá su continuidad. Se probarán algunos resultados de caracterización para estas clases, y se estudiará bajo qué condiciones un espacio definido por sucesiones peso puede ser definido por funciones peso, y viceversa. Se abordará la difícil cuestión de la no trivialidad de estas clases en un contexto concreto. Por último, se comentarán brevemente algunas generalizaciones y líneas actuales de investigación, así como otros contextos de aplicación de estas clases.

The main goal of this work is to introduce the Gelfand-Shilov classes and some of their most interesting properties and characterizations. The classes will be dealt with in their most general form, defining them by means of either weight sequences or weight functions, both in the Roumieu and Beurling setting. The behaviour of the most common operators will be discussed, and their continuity will be analized. Some characterization results for these classes will be proved, and conditions under which a space defined by weight sequences can be defined by weight functions, and vice versa, will be studied. We will work on the difficult problem of the non-triviality of these spaces in a restricted setting. To conclude the work, we will briefly comment on some generalizations and current research topics, and on some other fields of application of these spaces.